S=1²＋2²+……+n²
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解：利用恒等式(n+1)³=n³+3n²+3n+1,得：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
......
3³-2³=3*(2²)+3*2+1
2³-1³=3*(1²)+3*1+1.
把n等式两端分别相加得：
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n³+3n²+3n=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(n+1)n/2+n
整理得：
1²+2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6
(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
......
3³-2³=3*(2²)+3*2+1
2³-1³=3*(1²)+3*1+1.
把n等式两端分别相加得：
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n³+3n²+3n=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(n+1)n/2+n
整理得：
1²+2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6
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S=1²＋2²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6
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