Question

证明一元二次方程ax+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0

Answer 1

证明一方面由一元二次方程ax^2+bx+c=0有一正根和一负根
设方程的两根为x1，x2
则x1x2＜0
又由x1x2=c/a
即c/a＜0
即ac＜0
另一方面由ac＜0
则知方程ax^2+bx+c=0
的Δ=b^2-4ac＞0
故方程ax^2+bx+c=0有两根，
设两根为x1.x2
则x1x2=c/a
由ac＜0，知c/a＜0
知x1x2=c/a＜0
即x1与x2一正一负
故一元二次方程ax+bx+c=0有一正根和一负根。
故综上知一元二次方程ax+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0。