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前面章节,我们主要是证明已知直线是两已知平面的交线,或交点在交线上,平面的交线问题,是只有已知平面,要求画出交线。因为两点确定一线,所以把画交线问题转化为找到两个共点问题。助你快速掌握!
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“求两平面之间的交线,关键是找到2个两个平面的公共点。四棱锥P-ABCD中,ABCD是菱形,做出平面PAD与平面PBC的交线;P为1个公共点,需再找1个公共点即可,延长AD,BC交于E,那么E是第2个公共点,连接PE,则PE为两个平面的交线。当然,做两平面的交线还有其他方法,还有可能用到线面,面面平行的判定以及性质定理等。
方法一(平面束)首先设已知的两平面交线为L,过L的平面束方程为(4x-y+3z-1)+k(x+5y-z+2)=0,然后因为过原点,将坐标(x,y,z)=(0,0,0,)代入平面束方程,求得k=1/2,再代回平面束方程得到一个确定平面9x+3y+5z=0即为所求平面。
方法二(交线与原点的关系)首先设已知的两平面交线为L,L的方向向量由两已知平面的法向量求向量积,即由(4,-1,3)与(1,5,-1)求向量积得向量a(-2,1,3)。
再由两已知平面的方程联立为三元一次方程组(两个方程,三个未知量),从中取y为任一数,譬如取y=0,代入方程组解出x=-5/7,z=9/7,这是直线上的一个点的坐标。将点(0,0,0)和直线上点(-5/7,0,9/7)联成向量b(-5/7,0,9/7)。
再由向量a、b求向量积c,c即为所求平面的法向量,原点坐标已知,根据点法式即可求得平面方程。
方法一(平面束)首先设已知的两平面交线为L,过L的平面束方程为(4x-y+3z-1)+k(x+5y-z+2)=0,然后因为过原点,将坐标(x,y,z)=(0,0,0,)代入平面束方程,求得k=1/2,再代回平面束方程得到一个确定平面9x+3y+5z=0即为所求平面。
方法二(交线与原点的关系)首先设已知的两平面交线为L,L的方向向量由两已知平面的法向量求向量积,即由(4,-1,3)与(1,5,-1)求向量积得向量a(-2,1,3)。
再由两已知平面的方程联立为三元一次方程组(两个方程,三个未知量),从中取y为任一数,譬如取y=0,代入方程组解出x=-5/7,z=9/7,这是直线上的一个点的坐标。将点(0,0,0)和直线上点(-5/7,0,9/7)联成向量b(-5/7,0,9/7)。
再由向量a、b求向量积c,c即为所求平面的法向量,原点坐标已知,根据点法式即可求得平面方程。
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