Question

怎么证循环群的子群还是循环群？

Answer 1

设G为循环群,那么G有生成元x,使得任何非单位元g属于G,均存在最小的正整数n,满足g=x^n。
因此若H是G的子群,其任何元素非单位元h,均有h=x^n的形式.
不妨设d>0是满足x^d属于H的最小整数.我们下面证明x^d是H的生成元.
任取x^a属于H(a>0).
则x^(am+tn)=(x^a)^m*(x^t)^n属于H。
由Euclid辗转相除法知,存在m,n使得：
am+dn=(a,d)>0,这表明x^((a,d))属于H,
因为a=a1*(a,d),d=d1*(a,d),所以x^a,x^d可由x^((a,d))生成.
因此(a,d)<=d.由于d是最小的故(a,d)=d.
又x^a是在H中任意取的非单位元.
故H中的任何元素均可由x^d生成.即H中的非单位元均是形如x^(dn)形式。故H是循环群.

Answer 2

若 G = <g> 为循环群，则任何 G 中的元素 a，均可表示为 a = g^n，
其中 ，g 为 G 的生成元，n 为某个正整数。
因此，若 H 是 G 的子群，则对任何 H 中的元素 h，也有 h = g^k 的形式，
其中 ，g 为 G 的生成元，k 为某个正整数。

不妨设 k=m>0 是满足 g^k 属于 H 的最小正整数，下面证明 H = <g^m>：
1) 显然，由于子群满足运算的封闭性，因此 (g^m)^k 都是 H 的元素，即 H 包含 <g^m>；
2) 假设存在 H 中的某个元素 h = g^n 其中正整数 n 不能被 m 整除（即 h 不能表示成 (g^m)^k），不妨设 n = km +r，其中 r < m 为正整数，则该式唯一确定；
由于 H 是群，因此对于元素 g^m，H 中有其逆元 g^(-m)；
对上述 h = g^n = g^(km +r)，乘以 k 次 g^(-m)，由群的封闭性，结果仍属于 H，即
h * g^(-km) = g^(km +r) * g^(-km) = g^r 属于 H；
由于 r < m，这说明我们找到了一个比 m 更小的正整数 r，满足 g^r 属于 H，这与前提矛盾，即由反证法，得证 H 中的任意元素均可表示成 g^(km)，即 <g^m> 包含 H。

综上，H = <g^m>.