Question

如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D. (1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要

如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D. (1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；(3)若过A，D，C三点的圆的半径为 ,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.

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Answer 1

（1）略 （2）证明略 （3）理由略

解：（1）作出圆心O， …………………………………………………1分 以点O为圆心，OA长为半径作圆.…………………………………………1分 （2）证明：∵CD⊥AC,∴∠ACD="90°." ∴AD是⊙O的直径……………1分 连结OC，∵∠A=∠B=30°, ∴∠ACB=120°,又∵OA="OC," ∴∠ACO=∠A =30°,…………1分 ∴∠BCO=∠ACB-∠ACO ="120°-30°=90°. " ∴BC⊥OC, ∴BC是⊙O的切线. ……………………………………………1分 （3）存在. ……………………………………………………………………………1分 ∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°, ∴∠BCD=∠B, 即DB=DC. 又∵在Rt△ACD中，DC=AD , ∴BD= . 解法一：①过点D作DP1// OC，则△P1D B∽△COB, ， ∵BO=BD+OD= , ∴P1D= ×OC= × = .       ……………………………1分 ②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO, ∴ ， ∵BC＝ ∴ .………………………………………1分 解法二：①当△B P1D∽△BCO时，∠DP1B=∠OCB=90°. 在Rt△B P1D中， DP1= .                           ………………1分 ②当△B D P2∽△BCO时，∠P2DB=∠OCB=90°. 在Rt△B P2D中， DP2= .                                ……………1分