Question

已知抛物线y=x 2 -2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B。（1）求m的值；（2）

已知抛物线y=x 2 -2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B。（1）求m的值；（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图，请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形。

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x 2 -2x+m-1与x轴只有一个交点， ∴△=（-2） 2 -4×1×（m-1）=0， 解得，m=2； （2）由（1）知抛物线的解析式为y=x 2 -2x+1，易得顶点B（1，0）， 当x=0时，y=1，得A（0，1）， 由1=x 2 -2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）， 过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=x D -x B =1， ∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC= ， 同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1， 于是∠ABO=45°，AB= ， ∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC， 因此△ABC是等腰直角三角形；  （3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x 2 -2x-3， 当x=0时，y=-3； 当y=0时，x=-1或x=3， ∴E（-1，0），F（0，-3）， 即OE=1，OF=3， ①若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P 1 （x 1 ，y 1 ），作P 1 M⊥x轴于M， ∵∠P 1 EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°， ∴∠P 1 EM=∠EFO， 得Rt△EFO∽Rt△P 1 EM， 则 ， 即EM=3P 1 M， ∵EM=x 1 +1，P 1 M=y 1 ， ∴x 1 +1=3y 1 ，（*） 由于P 1 （x 1 ，y 1 ）在抛物线C′上， 则有3（x 1 2 -2x 1 -3）=x 1 +1， 整理得，3x 1 2 -7x 1 -10=0， 解得，x 1 =-1（舍）或 x 1 = ， 把x 1 = 代入（*）中可解得， ， ∴P 1 （ ）， ②若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P 2 （x 2 ，y 2 ），作P 2 N⊥与y轴于N， 同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP 2 N， 得 ， 即P 2 N=3FN， ∵P 2 N=x 2 ，FN=3+y 2 ， ∴x 2 =3（3+y 2 ）（**） 由于P 2 （x 2 ，y 2 ）在抛物线C′上， 则有x 2 =3（3+x 2 2 -2x 2 -3）， 整理得3x 2 2 -7x 2 =0， 解得x 2 =0（舍）或 ， 把 代入（**）中可解得， ， ∴P 2 （ ）， 综上所述，满足条件的P点的坐标为：（ ）或（ ）。