Question

已知函数 f(x)=lnx，g(x)= a x (a＞0) ，设F（x）=f（x）+g（x）（1）求F（x）的单调区间；（2

已知函数 f(x)=lnx，g(x)= a x (a＞0) ，设F（x）=f（x）+g（x）（1）求F（x）的单调区间；（2）若以y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x 0 ，y 0 ）为切点的切线的斜率 k≤ 1 2 恒成立，求实数a的最小值；（3）若对所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1） F(x)=f(x)+g(x)=lnx+ a x (x＞0) ， F ′ (x)= 1 x - a x 2 = x-a x 2 (x＞0) ．（2分） 因为a＞0由F′（x）＞0?x∈（a，+∞），所以F（x）在上单调递增；由F′（x）＜0?x∈（0，a）， 所以F（x）在（0，a）上单调递减．（5分） （2） F ′ (x)= x-a x 2 (0＜x≤3)，k= F ′ ( x 0 )= x 0 -a x 0 2 ≤ 1 2 (0＜ x 0 ≤3) 恒成立，（7分） 即 a≥(- 1 2 x 0 2 + x 0 ) max ，当x 0 =1时取得最大值 1 2 ．所以， a≥ 1 2 ，所以 a min = 1 2 ．（10分） （3）因为x≥e，所以 xlnx≥ax-a?a≤ xlnx x-1 ，令 h(x)= xlnx x-1 ，x∈[e，+∞) ，则 h ′ (x)= x-lnx-1 (x-1) 2 ．（12分） 因为当x≥e时， (x-lnx-1 ) ′ =1- 1 x ＞0 ，所以x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0， 所以h′（x）＞0，所以 h(x ) min =h(e)= e e-1 ，所以0＜ a≤ e e-1 ．（16分）