Question

已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x

已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．①当△ABC的面积为1时，求a的值②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

Answer 1

（1）证明：令y=0，a（x-m）²-a（x-m）=0，
△=（-a）²-4a×0=a²，
∵a≠0，
∴a²＞0，
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）解：①y=0，则a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）=0，
解得x₁=m，x₂=m+1，
∴AB=（m+1）-m=1，
y=a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m-

1

2

）²-

a

4

，
△ABC的面积=

1

2

×1×|-

a

4

|=1，
解得a=±8；

②x=0时，y=a（0-m）²-a（0-m）=am²+am，
所以，点D的坐标为（0，am²+am），
△ABD的面积=

1

2

×1×|am²+am|，
∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∴

1

2

×1×|am²+am|=

1

2

×1×|-

a

4

|，
整理得，m²+m-

1

4

=0或m²+m+

1

4

=0，
解得m=

?1± 2

2

或m=-

1

2

．