Question

（2011?樊城区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE

（2011?樊城区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE、OD，（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于F，若OF=FC，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若ADDC＝12，BE＝32，求⊙O的半径．

Answer 1

解：如右图所示，连接BD，
（1）∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODB=∠OBD，
同理在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠OAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠OAD=∠CBD，
∴∠ODA=∠EBD，
又∵∠ODA+∠ODB=90°，
∴∠EBD+∠ODB=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线．

（2）答：△ABC的形状是等腰直角三角形．
理由是：∵E、F分别是BC、OC的中点，
∴EF是三角形OBC的中位线，
∴EF∥AB，
DE⊥BC，
OB=OD，四边形OBED是正方形，
连接OE，
OE是△ABC的中位线，OE∥AC，
∠A=∠EOB=45度，
∴∠A=∠ACB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴△ACB是等腰直角三角形．

（3）设AD=x，CD=2x，
∵∠CDB=∠CBA=90°，∠C=∠C，
∴△CDB∽△CBA，
∴

BC

AC

=

CD

BC

，
∴

3 2 +3 2

3x

=

2x

6 2

，
x=2

3

，
AC=6

3

，
由勾股定理得：AB=

AC2?BC2

=6，
∴圆的半径是3．
答：⊙O的半径是3．