Question

f(x)＝2xx+2，x1=1，xn=f（xn-1）（n∈N且n≥2），（1）计算x2，x3，x4的值；（2）并猜想xn（n∈N+）的值

f(x)＝2xx+2，x1=1，xn=f（xn-1）（n∈N且n≥2），（1）计算x2，x3，x4的值；（2）并猜想xn（n∈N+）的值；（3）用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

（1）∵f(x)＝

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1），
∴x₂=

2

3

，x₃=

2

4

＝

1

2

，x₄=

2

5

；
（2）猜想x_n=

2

n+1

（n∈N₊）              （*）      
（3）①当n=1时，x₁=1=

2

1+1

，（*）成立；        
②假设n=k时（*）成立，即x_k=

2

k+1

当n=k+1时，x_k+1=f（x_k）=

2xk

xk+2

＝

2× 2 k+1

2 k+1 +2

＝

2

(k+1)+1

即当n=k+1时，（*）成立      
根据①和②，可知对任何n∈N₊（*）都成立．