Question

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．（1）若折痕斜率为-1，求折痕所在的直线方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（3）当-2+3≤k≤0时，求折痕长的最大值．

Answer 1

（1）折痕斜率为-1时，∵A点落在线段DC上，∴折痕必经过点D（0，1），
∴折痕所在的直线方程为y=-x+1．
（2）①当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=

1

2

．
②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G（a，1），
所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有k_OG?k=-1?

1

a

?k＝?1，解得a=-k．
故G点坐标为G（-k，1），
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标
（线段OG的中点）为M(?

k

2

，

1

2

)，）
折痕所在的直线方程y-

1

2

=k(x+

k

2

)，即y=kx+

k2

2

+

1

2

．
由①②得折痕所在的直线方程为：y=kx+

k2

2

+

1

2

．
（3）当k=0时，折痕长为2．
当-2+

3

≤k＜0时，折痕所在直线交BC于(2，2k+

k2

2

+

1

2

)，交y轴于Q(0，

k2+1

2

)．
∴|PQ|²=2²+(2k+

k2

2

+

1

2

?

k2+1

2

)2=4+4k²≤4+4(?2+

3

)2=32-16

3

．
∴|PQ|≤