Question

设F（x）=f（x）g（x），其中函数f（x），g（x）在（-∞，+∞）内满足以下条件：f′（x）=g（x），g′（x

设F（x）=f（x）g（x），其中函数f（x），g（x）在（-∞，+∞）内满足以下条件：f′（x）=g（x），g′（x）=f（x），且f（0）=0，f（x）+g（x）=2ex．（1）求F（x）所满足的一阶微分方程；（2）求出F（x）的表达式．

Answer 1

（1）
因为：F（x）=f（x）g（x），
F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）=g²（x）+f²（x）
=[f（x）+g（x）]²-2f（x）g（x）
=（2e^x）²-2F（x）
=4e^2x-2F（x），
所以，F（x）所满足的一阶微分方程为：
F′（x）+2F（x）=4e^2x．

（2）
由（1）知：F′（x）+2F（x）=4e^2x，
F(x)＝e?∫2dx[∫4e2x?e∫2dxdx+C]
=e?2x[∫4e4xdx+C]
=e^2x+Ce^-2x．
将F（0）=f（0）g（0）=0代入上式，得：C=-1．
所以：F（x）=e^2x-e^-2x．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示