Question

设f（x，y）存在一阶偏导数，且f（1，1）=1，fx′（1，1）=2，fy′（1，1）=1．又φ（x）=f（x，f（x，f

设f（x，y）存在一阶偏导数，且f（1，1）=1，fx′（1，1）=2，fy′（1，1）=1．又φ（x）=f（x，f（x，f（x，x））），则φ′（1）=______．

Answer 1

∵φ（x）=f（x，f（x，f（x，x））），
∴设v=f（x，x），u=f（x，v），
则：φ（x）=f（x，u），
从而：φ′（x）=f′₁（x，u）+f′₂（x，u）?u′，
而：u′=f′₁（x，v）+f′₂（x，v）?v′，
进一步：v′=f′₁（x，x）+f′₂（x，x）?1，
∴φ′(x)＝f1′+f2′[f1′+f2′(f1′+f2′)]，
又f（1，1）=1，f_x′（1，1）=2，f_y′（1，1）=1
∴φ′（1）=2+1?[2+1?（2+1）]=7．