Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（-4，0）D（0，4）设△AOB的外接圆圆心

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（-4，0）D（0，4）设△AOB的外接圆圆心为E．（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；（2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵C（-4，0）、D（0，4），
∴直线CD方程为

x

?4

+

y

4

＝1．化简得x-y+4=0．
又∵△AOB的外接圆圆心为E（

1

2

a，

1

2

a），半径r=

2

2

a．
∴由⊙E与直线CD相切，得圆心E到直线CD的距离等于半径，
即

| 1 2 a? 1 2 a+4|

2

=

2

2

a，即2

2

=

2

2

a，解之得a=4；
（2）C（-4，0）、D（0，4），可得|CD|=

(?4?0)2+(0?4)2

=4

2

，
设P到直线CD的距离为d，可得△PCD的面积S=

1

2

|CD|×d=12，
即

1

2

×4

2

×d＝12，解之得d=3

2

．
因此，只须与CD平行且与CD距离为3

2

的两条直线中的一条与⊙E相切，
另一条与⊙E相交．
∵由（1）的计算，可知圆心E到直线CD距离为2

2

，
∴圆E的半径为2

2

+3

2

=5

2

，即r=

2

2

a=5

2

，解得a=10．
即存在a=10，满足使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，⊙E的标准方程是（x-5）²+（y-5）²=50．