Question

在平面直角坐标系中,三角形 AOB的三个顶点的坐标分别是A(4,3),O(0,0),B(6,0).点M是OB边上异于O,

如图,在平面直角坐标系中,三角形 AOB的三个顶点的坐标分别是A(4,3),O(0,0),B(6,0).点M是OB边上异于O,B的一动点,过点M作MN//AB,点P是AB边上的任意点,连接AM,PM,PN,BN.设点M(x,0),三角形 PMN的面积为S.
(1)求出OA所在直线的解析式,并求出点M的坐标为(1,0)时,点N的坐标;
(2)求出S关于x的函数关系式,写出x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)若S:S三角形 ANB=2:3时,求出此时N点的坐标.

求解答，数学学霸在哪里啊，2014年山东聊城中考25题，最后一题压轴题啊，希望哪位大神给出详细的解题思路好解答过程~不胜感激啊

Answer 1

这个题主要是考查待定系数法求解析式，直线平行的性质，三角形相似判定及性质，同底等高的三角形面积相等等，相等面积的三角形的转化是本题的关键．这个题目难度还是挺大的。

第一问中，利用待定系数法求解析式即可；第二问中作AG垂直OB于G，NH垂直OB于H，利用勾股定理先求的AG的长。

解：（1）设直线OA的解析式为y=k1x，因为A（4,3），所以3=4k1,解得k1=3/4详细的答案看这里http://www.qiujieda.com/exercise/math/798817在平面直角坐标系中,三角形 AOB的三个顶点的坐标分别是A(4,3),O(0,0),B(6,0).点M是OB边上异于O,B的一动点,过点M作MN//AB,点P是AB边上的任意点,连接AM,PM,PN,BN.设点M(x,0),三角形 PMN的面积为S.

(1)求出OA所在直线的解析式,并求出点M的坐标为(1,0)时,点N的坐标;

(2)求出S关于x的函数关系式,写出x的取值范围,并求出S的最大值;

(3)若S:S三角形 ANB=2:3时,求出此时N点的坐标.

Answer 2

(1)∵直线OA过原点O,A(4,3)
∴方程为y=3/4*x
(2)由待定系数法求得AB方程为y=9-3/2*x,即3x+2y-18=0
∵MN∥AB,∴直线MN与直线AB的k相等
设M(a,0)(因为直线方程中有x,这里先把M(x,0)换成(a,0)),则y=-3/2*(x-a),即3x+2y-3a=0
∵M在线段OB上(不含端点),∴0<a<6,∴0<3a<18
由平行线距离公式得MN与AB间距离h=|18-3a|/√(9+4)=(18-3a)/√13
两点之间距离公式得|AB|=√13
∵△ONM∽△OAB,∴MN/AB=OM/OB=a/6
∴|MN|=√13a/6
∴S△PMN=1/2*|MN|*h=-1/4*a²+3/2*a
把a换成x即得关系式S=-x²/4+3x/2(0<x<6)
由二次函数知识可知Smax=9/4
(3)△PMN和△ANB等高(都是AB和MN间距离h)
∴面积比=底比,MN/AB=2/3,即相似比为2/3
∴OM/OB=2/3,解得M(4,0),∴MN方程为3x+2y-12=0
联立OA和MN方程,解得N(8/3,2)