Question

求高手帮忙做三道数学题，关于求极限的。

Answer 1

（1）设y=(1/x)^tanx
两边取对数，lny=-tanxlnx，x->0时，0.无穷大型，用罗比达法则
lny=-tanxlnx=-（tanx/x）xlnx=-（tanx/x）（lnx/x^(-1))=-（sinx/xcosx）（lnx/x^(-1))
注意sinx/x->1,后项∞/∞，继续用罗比达法则：
lny->-(1/x)/(-x^(-2))=x->0
y->1
(2)0/0型，2次用洛必达法则：
->[e^x+(-1)/(1-x)]/[1-1/(1+x^2)]->[e^x+1/(1-x)^2]/[2x/(1+x^2)^2]->∞
(3)同（1）设y=(1+sinx)^(1/x)
lny=ln(1+sinx)/x,0/0型，洛必达法则：
lny->cosx/(1+sinx)=1,y->e

或者利用极限e=lim(x->0)(1+x)^(1/x)
(1+sinx)^(1/x)=(1+sinx)^[(1/sinx)(sinx/x)]=[(1+sinx)^(1/sinx)]^(sinx/x)=e^1=e
设z=sinx，就是上面e的表达式：e=lim(x->0)(1+z)^(1/z)，而sinx/x->1(x->0)

Answer 2

1.3用幂指函数方法，2用泰勒公式即可！