Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F。（1）求证

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F。（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若 ，DF=2，求 的长。





Answer 1

解：（1）连结OD， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B， ∵OD=OB， ∴∠B=∠1， ∴∠C=∠1， ∴OD∥AC， ∴∠2=∠FDO， ∵DF⊥AC， ∴∠2=90°， ∴∠FDO=90°， 即FD⊥OD， ∴FD是圆O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵AC=AB， ∴∠3=∠4， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴∠B=2∠4， ∴∠B=60°，∠5=120°， ∴△ABC是等边三角形， ∠C=60°， 在Rt△CFD中，sinC= ，CD= ， ∴DB= ，AB=BC= ， ∴AO= ， ∴ 。