Question

如图，已知：⊙O是ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，连接DF，作EP⊥DF，垂足为点P，连接PB，PC．求证：∠

如图，已知：⊙O是ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，连接DF，作EP⊥DF，垂足为点P，连接PB，PC．求证：∠DPB=∠FPC．

Answer 1

证明：分别过B、C作DF的垂线交DF延长线于G、H两点， ∵⊙O是ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴BE=BD，CF=CE，AD=AF， ∴∠ADF=∠AFD， ∴∠BDG=∠CFH， 又∵∠G=∠H=90°， ∴△BDG ∽ △CFH， ∴ BG CH = BD CF ， ∴ BG CH = BE CE ， ∵∠G=∠EPG=∠H=90°， ∴BG ∥ EP ∥ CH， ∴ BE CE = PG PH ， ∴ BG CH = PG PH ， 又∵∠G=∠H=90°， ∴△BGP ∽ △CHP， ∴∠DPB=∠FPC．