Question

在Rt△ABC中，直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，点E是BC边的中点，连接DE，（1）DE与半圆O相切吗？

在Rt△ABC中，直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，点E是BC边的中点，连接DE，（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况．（2）若AD、AB的长是方程x 2 ﹣10x+24=0的根，求直角边BC的长．

Answer 1

解：（1）DE与半圆O相切． 证明：连接OD、OE． ∵O、E分别是BA、BC的中点， ∴OE∥AC， ∴∠BOE=∠BAC，∠EOD=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠BAC． ∴∠BOE=∠EOD． ∵OD=OB，OE=OE， ∴△OBE≌△ODE． ∴∠ODE=∠OBE=90°． ∴DE与半圆O相切； （2）∵在Rt△ABC中，BD⊥AC， ∴Rt△ABD∽Rt△ABC， ∴ = ，即AB 2 =AD·AC， ∴AC= ． ∵AD，AB的长是方程x 2 ﹣10x+24=0的两个根， ∴解方程x 2 ﹣10x+24=0，得：x 1 =4，x 2 =6． ∵AD<AB， ∴AD=4，AB=6， ∵AC= ，AD=4，AB=6， ∴AC=9， 在Rt△ABC中，AB=6，AC=9． ∴BC= = =3 ．