Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 cosA= 1 3 ．（1）求 2si n 2 ( π

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 cosA= 1 3 ．（1）求 2si n 2 ( π 3 + B+C 2 )+sin 4π 3 cos( π 2 +A) 的值； （2）若 a= 3 ，求三角形面积的最大值．

Answer 1

（1） 2si n 2 ( π 3 + B+C 2 )+sin 4π 3 cos( π 2 +A) =1-cos（ 2π 3 +B+C ）+sin π 3 sinA =1-cos 2π 3 cos（B+C）+sin 2π 3 sin（B+C）+sin π 3 sinA =1- 1 2 cosA+ 3 2 sinA+ 3 2 sinA = 5 6 + 2 6 3 ． （2）∵ b2+c2-a2 2bc =cosA= 1 3 ，∴ 2 3 bc=b 2 +c 2 -a 2 ≥2bc-a 2 ． 又a= 3 ，∴bc≤ 9 4 ， 当且仅当b=c= 3 2 时，bc= 9 4 ，故bc的最大值是 9 4 ． ∵cosA= 1 3 ，∴sinA= 2 2 3 ，S= 1 2 bcsinA≤ 3 4 2 ． 故三角形面积的最大值是 3 2 4 ．