Question

已知正四面体棱长为a，则它的外接球表面积为______

已知正四面体棱长为a，则它的外接球表面积为______．

Answer 1

正四面体的棱长为：a，
底面三角形的高：

3

2

a，
棱锥的高为：

a2?( 2 3 × 3 2 a)2

=

6

3

a，
设外接球半径为R，
R²=（

6

3

a-R）²+(

3

3

a)2 解得R=

6

4

a，
所以外接球的表面积为：4π

Answer 2

设正四面体P-ABC，作高PH，连结AH，并延长与BC相交于D，
球心O在PH上，
△ABC是正△，AD=√3a/2,
H是正△ABC重心，
AH=2AD/3=√3a/3，
在直角三角形PAH中，根据勾股定理，
PH=√6a/3,
设OA=OP=R，
AO^2=AH^2+OH^2,
OH=PH-R,
R^2=(√3a/3)^2+(√6a/3-R)^2,
a^2=2√6aR/3,
R=√6a/4,
球表面积S=4πR^2=3πR^2/2.