已知函数f(x)＝(x 2 ＋ax－2a 2 ＋3a)e x (x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处
已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠时，求函数y...
已知函数f(x)＝(x 2 ＋ax－2a 2 ＋3a)e x (x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠ 时，求函数y＝f(x)的单调区间与极值．
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| （1）3e. （2）见解析 |
| 解：(1)当a＝0时，f(x)＝x 2 e x ，f′(x)＝(x 2 ＋2x)e x ， 故f′(1)＝3e. 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e. (2)f′(x)＝[x 2 ＋(a＋2)x－2a 2 ＋4a]e x . 令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2， 由a≠  知，－2a≠a－2.以下分两种情况讨论： ①若a> ，则－2a<a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数． 函数f(x)在x＝－2a处取得极大值为f(－2a)，且f(－2a)＝3ae －2a . 函数f(x)在x＝a－2处取得极小值为f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e a －2 . ②若a< ，则－2a>a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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