Question

如图，在正△ABC中，D、E分别是BC、AC上一点，AE=CD，AD与BE交于点F，AF=12BF．求证：CF⊥BE

如图，在正△ABC中，D、E分别是BC、AC上一点，AE=CD，AD与BE交于点F，AF=12BF．求证：CF⊥BE．

Answer 1

证明：取BF中点M，连接AM．
在△ABE和△CAD中，∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，

∠EAB＝∠DCA＝60° AB＝CA AE＝CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠1=∠6，BE=AD，∠AEB=∠ADC，
∵AF=

1

2

BF，BM=

1

2

BF，
∴AF=BM．
∵FD=AD-AF，ME=BE-BM，
∴FD=ME．
在△AME与△CFD中，

AE＝CD ∠AEB＝∠ADC ME＝FD

，
∴△AME≌△CFD（SAS），
∴∠7=∠MAE=∠5+∠6，∠3=∠4，
∵AF=MF，
∴∠8=∠3+∠5=2（∠1+∠2），
而∠BAE=∠2+∠5+∠6=∠2+∠3+∠6=∠2+（∠1+∠2）+∠1=2（∠1+∠2），
∴∠8=∠9=60°，∠3=∠1+∠2=

1

2

∠BAE=30°，
又∵∠9=∠8=60°，∠4=∠3=30°，
∴∠BFC=∠9+∠4=90°，
∴CF⊥BE．