Question

（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．试说明∠BOC=90°+12∠A；（2）如图所示，

（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．试说明∠BOC=90°+12∠A；（2）如图所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．试说明∠D=90°-12∠A；（3）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试说明∠A=2∠D．

Answer 1

证明：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠OBC+∠OCB=

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2

（180°-∠A）=

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2

×（180°-x°）=90°-

1

2

∠A
故∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A；

（2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠BCD=

1

2

（∠A+∠ABC）、∠DBC=

1

2

（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC，
=180°-

1

2

[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-

1

2

（∠A+180°），
=90°-

1

2

∠A；

（3）如图：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D
∴∠1=∠2，∠5=

1

2

（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A----①
在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-

1

2

（∠A+2∠1），
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，
把①代入②得2∠D=∠A．