Question

已知正项数列{an}满足：an2-nan-（n+1）=0，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=2bn-2．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}

已知正项数列{an}满足：an2-nan-（n+1）=0，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=2bn-2．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{1an?log2bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）由a_n²-na_n-（n+1）=0，得a_n=n+1，或a_n=-1（舍去），
∴a_n=n+1；
又S_n=2b_n-2，∴n≥2时，S_n-1=2b_n-1-2，
两式相减，得b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，
∴b_n=2b_n-1（n≥2），
∴{b_n}为等比数列，公比q=2，
又∵S₁=b₁=2b₁-2，∴b₁=2，
∴bn＝2×2n?1＝2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=n+1，bn＝2n，
∴

1

an?log2bn

＝

1

(n+1)log22n

=

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

，
∴Tn＝1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．