Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．（1）若AC=1，BC=2．求证：AD2+CF2=BE2

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．（1）若AC=1，BC=2．求证：AD2+CF2=BE2；（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）

Answer 1

（1）证明：如图，连接FD，
∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，
∴CD=

1

2

BC=

2

2

，CE=

1

2

AC=

1

2

，
FD=

1

2

AC=

1

2

，
由勾股定理得，AD²=AC²+CD²=1²+（

2

2

）²=

3

2

，
CF²=CD²+FD²=（

2

2

）²+（

1

2

）²=

3

4

，
BE²=BC²+CE²=（

2

）²+（

1

2

）²=

9

4

，
∵

3

2

+

3

4

=

9

4

，
∴AD²+CF²=BE²；

Answer 2

（1）如果结论正确：
应用中线公式结合勾股定理一定能解决
（2）有待研究