Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，BC=16，CD=12，AD=21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，BC=16，CD=12，AD=21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？

Answer 1

如图1，当PB=PQ时，作PE⊥BC于E，
∴EQ=

1

2

BQ，
∵CQ=t，
∴BQ=16-t，
∴EQ=8-

1

2

t，
∴EC=8-

1

2

t+t=8+

1

2

t．
∴2t=8+

1

2

t．
解得：t=

16

3

．
当PQ=BQ时，如图2，作QE⊥AD于E，
∴∠PEQ=∠DEQ=90°，
∵∠C=∠D=90°，
∴∠C=∠D=∠DEQ=90°，
∴四边形DEQC是矩形，
∴DE=QC=t，
∴PE=t，QE=CD=12．
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
PQ=

t2+144

．
16-t=

t2+144

，
解得：t=

7

2

；
当BP=PQ时，作PE⊥BC于E，
∴EQ=BE=

1

2

BQ，
∵CQ=t，
∴BQ=16-t，
∴BE=8-

1

2

t，
∴PB=

?8t+ 1 4 t2+208

．
∴16-t=

?8t+ 1 4 t2+208

．
解得：t₁=16+8

3

，t₂=16-8

3

∵0＜t≤10.5
∴t=16-8

3

．
综上所述，t=

16

3

，

7

2

或16-8

3

时以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．