Question

如图，△ABC中AB=AC，BC=6，sin∠B＝45，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线

如图，△ABC中AB=AC，BC=6，sin∠B＝45，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；

Answer 1

解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F，
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，
∴BP=CQ，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PFB，
∴BP=PF，
∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，
∴证得△PFD≌△QCD，
∴DF=CD=

1

2

CF，
又因P是AB的中点，PF∥AQ，
∴F是BC的中点，即FC=

1

2

BC=3，
∴CD=

1

2

CF=

3

2

；

（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段
如图，如果点P在线段AB上，
过点P作PF∥AC交BC于F，
∵△PBF为等腰三角形，
∴PB=PF，
BE=EF，
∴PF=CQ，
∴FD=DC，
∴ED=EF+FD＝BE+DC＝

1

2

BC＝3，
∴ED为定值，
同理，如图，若P在BA的延长线上，

作PM∥AC的延长线于M，
∴∠PMC=∠ACB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PMC，
∴PM=PB，根据三线合一得BE=EM，
同理可得△PMD≌△QCD，
所以CD=DM，

BE＝EM CD＝DM

?ED＝EM?DM＝

BC+CM

2

?DM＝

BC

2

+

CM

2

?DM＝3+DM?DM＝3，
综上所述，线段ED的长度保持不变．