Question

已知：△ABC是等边三角形，点E在AB边上运动，EF交AC于G，交BC的延长线于F，且AE=CF．（1）求证：GE=GF；

已知：△ABC是等边三角形，点E在AB边上运动，EF交AC于G，交BC的延长线于F，且AE=CF．（1）求证：GE=GF；（2）当点E运动到AB的中点时，如果AB=a，求CG的长．

Answer 1

（1）过点EM∥BC交AC于M，

∵EM∥BC，∴△AEM是等边三角形，
∴EM=AE=CF，∠MEG=∠F，
在△EMG和△FCG中，

∠EGM＝∠CGF ∠MEG＝∠F EG＝FG

，
∴△EMG≌△FCG（AAS），
∴EG=FG；
（2）根据（1）中△EMG≌△FCG可得GM=CG，
∵EM=AM=AE，
∴CM=

1

2

a，
∴CG=

1

2

CM=

1

4

a．