Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB

已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE?AD=16，AB＝45．（1）求AC的长；（2）求EG的长．

Answer 1

（1）∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠ACB，
又∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴

AC

AE

＝

AD

AC

，
即AC²=AE?AD，
∵AE?AD=16，
∴AC²=16，
∴AC=4；

（2）在△ABC中，BC=

AB2?AC2

=

(4 5 )2?42

=8，
∵AD平分∠CAB交BC于点D，
∴∠CAE=∠FAE，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=∠AEF=90°，
在△ACE和△AFE中，

∠CAE＝∠FAE AE＝AE ∠AEC＝∠AEF＝90°

，
∴△ACE≌△AFE（ASA），
∴CE=EF，
∵EG∥BC，
∴EG=

1

2

BC=

1

2

×8=4．