Question

如图，AB=16cm，AC=12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿AC边一直移

如图，AB=16cm，AC=12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移动到点A为止．（1）写出AP的长y1和AQ的长y2关于时间t的函数；（2）经过多少时间后，△APQ与△ABC相似？（3）在整个过程中，是否存在使△APQ的面积恰好为△ABC面积一半的情况？若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得：y₁=2t（0≤t≤6），y₂=16-t（0≤t≤16）．（4分）

（2）当0≤t≤6时，
①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC．
∴

AQ

AB

＝

AP

AC

．
∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2t，AQ=16-t，
∴

16?t

16

＝

2t

12

，
解得：t＝

48

11

（2分）
②∵∠A=∠A，若∠AQP=∠C，
则有△AQP∽△ACB
∴

AQ

AC

＝

AP

AB

∴

16?t

12

＝

2t

16

，
解得：t=6.4、（不符合题意，舍去）（1分）
当6≤t≤16时，点P与C重合
∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB时，有△AQC∽△ACB，
∴

AQ

AC

＝

AC

AB

∴

16?t

12

＝

12

16

，
解得：t=7 （1分）
综上所述：
在0≤t≤6中，当t＝

48

11

时，△AQP∽△ABC
在6≤t≤16中，当t=7时，△AQC∽△ACB （1分）

（3）当0≤t≤6时，过点P、C分别作AB的垂线，垂足为D、E，
∴PD=APsin∠A，CE=ACsin∠A．
如果△APQ的面积恰好为△ABC面积一半，
那么

S△APQ

S△ABC

＝

AQ?PD

AB?CE

，
∴

AQ?PD

AB?CE

＝

1

2

，
得：t²-16t+48=0，
解得：t=4或者t=12（舍去）（2分）．
当6≤t≤16时，点P与C重合，
即

S△AQC

S△ABC

＝

AQ

AB

，
如果△AQC的面积恰好为△ABC面积一半，
那么

16?t

16

＝

1

2

，
解得：t=8 （1分）．
综上所述：
在0≤t≤6中，当t=4时，△APQ的面积恰好为△ABC面积一半；
在6≤t≤16中，当t=8时，△AQC的面积恰好为△ABC面积一半．