Question

设A，B是n阶可逆矩阵，满足AB=A+B．则①|A+B|=|A||B|； ②（AB）-1=A-...

设A，B是n阶可逆矩阵，满足AB=A+B．则①|A+B|=|A||B|； ②（AB）-1=A-1B-1；③（A-E）X=0只有零解； ④B-E不可逆．中正确的项数是（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

因为A，B是n阶可逆矩阵，
且A，B满足AB=A+B．
两边取行列式，
显然有|A+B|=|AB|=|A||B|，
所以①成立．
又AB=A+B，
移项，
提公因子得AB-A=A（B-E）=B，
A（B-E）=B-E+E，
（A-E）（B-E）=E．
故A-E，B-E都是可逆阵，
且互为逆矩阵，
从而知方程组（A-E）X=0只有零解，
所以③正确．④B-E不可逆是错误的，
又因（A-E）（B-E）=E，
故（B-E）（A-E）=E，
从而有
BA-A-B+E=E，BA=A+B，
得AB=BA，
从而有②（AB）^-1=（BA）^-1=A^-1B^-1成立．
故①、②、③是正确的，
故选：C．