Question

数学偏导数求解中dz是什么意思?

z=(1+xy)^y
z=e^[y*ln(1+xy)]

dz=e^[y*ln(1+xy)]*{dy*ln(1+xy)+y*[1/(1+xy)]*[ydx+xdy]}
dz=(1+xy)^y*[ln(1+xy)+xy/(1+xy)]dy+(1+xy)^y*y^2/(1+xy)dx

所以：
对x的偏导数为：(1+xy)^y*y^2/(1+xy)
对y的偏导数为：(1+xy)^y*[ln(1+xy)+xy/(1+xy)]

Answer 1

第二dz是第一个dz的等式变换，是将第一个dz等号右边的所有含dy的项合并，所有的含dx的项合并，然后加起来。
所以对x的偏导数就是dx前面的系数，同理对y的偏导数就是dy前面的系数。

Answer 2

Z = Z(X,Y) = (1+XY)^Y (1)
lnZ = Y ln(1+XY)
∂lnZ/∂X = (∂Z/∂X)/Z = Y²/(1+XY) (2)
∂Z/∂X = Y²(1+XY)^(Y-1) (3)
∂lnZ/∂Y = (∂Z/∂Y)/Z
= ln(1+XY) + XY/(1+XY)
∂Z/∂Y = (1+XY)^Y ln(1+XY) + XY(1+XY)^(Y-1) (4)
dZ = ∂Z/∂X dX + ∂Z/∂Y dY
= Y²(1+XY)^(Y-1) dX + [ln(1+XY)+XY/(1+XY)] dY (5)

第2题类似，不做了，...。

追问

我的意思为啥俩个dz，而不是一个dz呢?

追答

两道题，自然有两个 dz 了。

追问

∂Z/∂X = Y²(1+XY)^(Y-1) (3)
∂lnZ/∂Y = (∂Z/∂Y)/Z //这步怎么不是∂Z/∂X=呢？

追答

∂lnZ/∂Y = (∂Z/∂Y)/Z //这步怎么不是∂Z/∂X=呢？
这是复合函数：首先是 lnZ 对 Z 求导，之后 Z 再对 Y 求导，
也就是：∂(lnZ)/∂Y = (∂lnZ/∂Z)×(∂Z/∂Y) = (1/Z)(∂Z/∂Y) = (∂Z/∂Y)/Z
∂Z/∂X 已求完了，即（3）式！下一步该求：∂Z/∂Y 了。
注意，为求 dZ = ∂Z/∂X dX + ∂Z/∂Y dY （4）
只需把 ∂Z/∂X 和 ∂Z/∂Y 求出来代入（4）就可以了。

Answer 3

z的微分。
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