Question

线性代数问题：设A,B分别为m乘n,n乘t矩阵,求证(1)若r(A)=n,则r(AB)=r(B) (2)若r(B)=n,则r(AB)=r(A)

设A,B分别为m乘n,n乘t矩阵,求证
(1)若r(A)=n,则r(AB)=r(B)
(2)若r(B)=n,则r(AB)=r(A)

Answer 1

A是m×n矩阵,若齐次线性方程组AX=0的解向量η1,η2,…,ηt是线性无关的,而且AX=0的每一个解向量都可由它们线性表出,则称η1,η2,…,ηt为AX=0的基础解系.如果矩阵A的秩r(A)=r,则t=n-r,且AX=0的解空间的维数是n-r,而η1,η2,…,ηt是它的基. 关键的是AX=0的解都可以用基础解系线性组合表示, 而线性表示, 也就是B中列向量都是η1,η2,…,ηt的线性组合,显然秩(B)<=t,而t=n-r,证毕.