Question

已知函数f(x)ax2+2x-2-a(a≤0)(1)若a=-1，求函数的零点... 已知函数f（x

已知函数f(x)ax2+2x-2-a(a≤0)(1)若a=-1，求函数的零点...
已知函数f（x）=ax2+2x-2-a（a≤0），（1）若a=-...（2）若函数在区间（0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

f(x) = ax^2 + 2x -2-a, a<=0.
(1)a=-1,
f(x) = -x^2 + 2x -1 = -(x^2 - 2x + 1) = -(x-1)^2,
x=1是f(x)的唯一零点。

（2）a<=0,
若a=0,则f(x) = 2x - 2 = 2(x-1), x=1是f(x)在(0,1]上的唯一零点，符合题意。

a<0时，
f(x) = ax^2 + 2x - 2 - a = a[x^2 + 2x/a + 1/a^2 - 1/a^2] - 2 - a
= a[x + 1/a]^2 - 1/a - 2 - a
= a(x+1/a)^2 - (1 +2a + a^2)/a
= a(x+1/a)^2 - (a+1)^2/a
= a[(x+1/a)^2 - (a+1)^2/a^2]
= a[(x+1/a)^2 - (1+1/a)^2]
= a(x+1/a+1+1/a)(x+1/a-1-1/a)
= a(x + 1 + 2/a)(x-1),

x = 1是f(x)在(0,1]上的一个零点。
因此，只能 -2/a -1 < 0或 -2/a - 1 > 1,
-2 - a > 0 或 -2 - a < a,
a < -2 或 a > -1.

综合，有，
a的取值范围是，-1<a<=0或a<-2.