Question

将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图A摆放，斜边AB分别交CD、CE于M、N点，（1）如果把图A中的△BCN绕

将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图A摆放，斜边AB分别交CD、CE于M、N点，（1）如果把图A中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图B，求证：△CMF≌△CMN：（2）将△CED绕点C旋转：①当点M、N在AB上（不与A、B重合）时，线段AM、MN、NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；②当点M在AB上，点N在AB的延长线上（如图C）时，①中的关系式是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

（1）∵△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF， ∴CF=CN，∠ACF=∠BCN， ∵∠DCE=45°， ∴∠ACM+∠BCN=45°， ∴∠ACM+∠ACF=45°， 即∠MCF=45°， ∴∠MCF=∠MCN， 在△CMF和△CMN中， CF=CN ∠MCF=∠MCN CM=CM ， ∴△CMF≌△CMN（SAS）； （2）①∵△CMF≌△CMN， ∴FM=MN， 又∵∠CAF=∠B=45°， ∴∠FAM=∠CAF+∠BAC=45°+45°=90°， ∴AM 2 +AF 2 =FM 2 ， ∴AM 2 +BN 2 =MN 2 ； ②如图，把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF， 则AF=BN，CF=CN，∠BCN=∠ACF， ∵∠MCF=∠ACB-∠MCB-∠ACF=90°-（45°-∠BCN）-∠ACF=45°+∠BCN-∠ACF=45°， ∴∠MCF=∠MCN， 在△CMF和△CMN中， CF=CN ∠MCF=∠MCN CM=CM ， ∴△CMF≌△CMN（SAS）， ∴FM=MN， ∵∠ABC=45°， ∴∠CAF=∠CBN=135°， 又∵∠BAC=45°， ∴∠FAM=∠CAF-∠BAC=135°-45°=90°， ∴AM 2 +AF 2 =FM 2 ， ∴AM 2 +BN 2 =MN 2 ．