Question

（2013?嘉兴二模）如图，已知抛物线C1：x2=2py的焦点在抛物线C2：y=12x2+1上，点P是抛物线C1上的动点．（

（2013?嘉兴二模）如图，已知抛物线C1：x2=2py的焦点在抛物线C2：y=12x2+1上，点P是抛物线C1上的动点．（Ⅰ）求抛物线C1的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P作抛物线C2的两条切线，M、N分别为两个切点，设点P到直线MN的距离为d，求d的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵抛物线C₁的方程为x²=2py，∴抛物线的焦点为F(0，

p

2

)，…（2分）
∵抛物线C1：x2＝2py的焦点在抛物线C₂上
∴

p

2

＝1，可得p=2．…（4分）
故抛物线C₁的方程为x²=4y，其准线方程为y=-1．…（6分）
（Ⅱ）设P（2t，t²），M(x1，

1

2

x

2 1

+1)，N(x2，

1

2

x

2 2

+1)，
可得PM的方程：y?(

1

2

x

2 1

+1)＝x1(x?x1)，
∴点P坐标代入，化简得t2＝2tx1?

1

2

x

2 1

+1，即

x

2 1

?4tx1+2t2?2＝0．
同理可得PN：y＝x2x?

1

2

x

2 2

+1，得

x

2 2

?4tx2+2t2?2＝0．…（8分）
由

x 2 1 ?4tx1+2t2?2＝0  x 2 2 ?4tx2+2t2?2＝0

得x₁、x₂是方程