Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x0处取得极小值-5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（0，0）与（2，0）（1

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x0处取得极小值-5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（0，0）与（2，0）（1）求a，b的值；（2）求x0及函数f（x）的表达式．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²+2ax+b…（2分）
过点（0，0）与（2，0），故

b＝0 12+4a+b＝0

得

a＝?3 b＝0

；…（5分）
（2）由（1）得f（x）=x³-3x²+c…（6分）
由f′（x）=3x²-6x=0?x=0或x=2…（8分）
而当x＜0时，f′（x）＞0；     
当0＜x＜2时，f′（x）＜0
当x＞2时，f′（x）＞0；
故f（2）是f（x）的最小值…（10分）
从而有x₀=2，f（2）=-5…（11分）
由f（2）=-5?8-12+c=-5，解得c=-1…（12分）
∴f（x）=x³-3x²-1…（13分）