Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40．数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn-2bn+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40．数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn-2bn+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an，n为奇数bn，n为偶数，求数列{cn}的前2n+1项和P2n+1．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意，得

a1+d＝8 4a1+6d＝40

，解得

a1＝4 d＝4

，
∴a_n=4n；
∵T_n-2b_n+3=0，∴当n≥2时，T_n-1-2b_n-1+3=0，
两式相减，得b_n=2b_n-1，（n≥2）
又当n=1时，b₁=3，
则数列{b_n}为等比数列，
∴bn＝3?2n?1；                  
（Ⅱ）cn＝

4n      n为奇数 3?2n?1  n为偶数

∴P_2n+1=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=

4+4(2n+1)

2

?(n+1)+

6(1?4n)

1?4

=2²ⁿ⁺¹+4n²+8n+2．

Answer 2

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
a1+d=8 4a1+6d=40
解得
a1=4d=4
∴an=4n，
∵Tn-2bn+3=0，∴当n=1时，b1=3
当n≥2时，Tn-1-2bn-1+3=0，
两式相减，得bn=2bn-1，（n≥2）
则数列{bn}为等比数列，
∴bn=3•2n-1；
（Ⅱ）cn=4n n为奇数
3*2n-1 n为偶数
当n为偶数时，Pn=（a1+a3+…+an-1）+（b2+b4+…+bn）
=[(4+4n-4)•n/2]/2+[6(1-4^n/2)]/(1-4)
=2n+1+n2-2．
当n为奇数时，
（法一）n-1为偶数，Pn=Pn-1+cn=2^[（n-1）+1]+（n-1）^2-2+4n=2^n+n^2+2n-1，
（法二）Pn=（a1+a3+…+an-2+an）+（b2+b4+…+bn-1）
=[(4+4n)•(n+1)/2]/2+6(1-4^[(n-1)/2])/(1-4)
=2^n+n^2+2n-1．
∴Pn=2^(n+1)+n^2-2，n为偶数
2^n+n^2+2n-1，n为奇数