Question

函数f（x）=a2x+2ax-1（a＞0，且a≠1）（1）若a=2，求y=f（x）的值域（2）若y=f（x）在区间[-1，1]上有最

函数f（x）=a2x+2ax-1（a＞0，且a≠1）（1）若a=2，求y=f（x）的值域（2）若y=f（x）在区间[-1，1]上有最大值14．求a的值；（3）在（2）的前题下，若a＞1，作出f（x）=a|x-1|的草图，并通过图象求出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）当a=2时，f（x）=2^2x+2×2^x-1=（2^x+1）²-2
∵2^x＞0，设t=2^x，则y=（t+1）²-2在（0，+∞）上单调递增
故y＞-1，∴y=f（x）的值域为（-1，+∞）…．（5分）
（2）y=a^2x+2a^x-1=（a^x+1）²-2…．（6分）
①当a＞1时，又-1≤x≤1，可知

1

a

≤ax≤a，设a^x=t，
则y=（t+1）²-2在[

1

a

，a]上单调递增
∴f(x)max＝(a+1)2?2＝14，解得a=3或a=-5，故a=3…（8分）
②当0＜a＜1时，又-1≤x≤1，可知a≤ax≤

1

a

，设a^x=t，
则y=（t+1）²-2在[a，

1

a

]上单调递增
∴f(x)max＝(

1

a

+1)2?2＝14，解得a＝

1

3

或a＝?

1

5

，故a＝

1

3

…（10分）
综上可知a的值为3或

1

3

…（11分）
（3）y=3^|x-1|的图象，
 …..（13分）
函数的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（-∞，1）…（14分）