若实数a,b,c,d满足(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( )A.2B.2C.2
若实数a,b,c,d满足(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为()A.2B.2C.22D.8...
若实数a,b,c,d满足(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( )A.2B.2C.22D.8
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解:∵实数a、b、c、d满足:
(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,
∴b+a2-3lna=0,设b=y,a=x,
则有:y=3lnx-x2
c-d+2=0,设c=x,d=y,则有:y=x+2,
∴(a-c)2+(b-d)2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值
对曲线y=3lnx-x2求导:y'(x)=
3
x
-2x,
与y=x+2平行的切线斜率k=1=
3
x
-2x,
解得:x=1或x=-
3
2
(舍)
把x=1代入y=3lnx-x2,得:y=-1,
即切点为(1,-1)
切点到直线y=x+2的距离:
|1+1+2|
2
=2
2
∴(a-c)2+(b-d)2的最小值就是8.
故选:D.
(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,
∴b+a2-3lna=0,设b=y,a=x,
则有:y=3lnx-x2
c-d+2=0,设c=x,d=y,则有:y=x+2,
∴(a-c)2+(b-d)2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值
对曲线y=3lnx-x2求导:y'(x)=
3
x
-2x,
与y=x+2平行的切线斜率k=1=
3
x
-2x,
解得:x=1或x=-
3
2
(舍)
把x=1代入y=3lnx-x2,得:y=-1,
即切点为(1,-1)
切点到直线y=x+2的距离:
|1+1+2|
2
=2
2
∴(a-c)2+(b-d)2的最小值就是8.
故选:D.
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