Question

如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，AB=4，AD=3，动点M从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向终点A运动，

如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，AB=4，AD=3，动点M从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向终点A运动，同时动点N从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N作NP⊥AB，交AC于点P，连接MP．过点P作PQ⊥AD交AD于点Q，且PQ=AN，AQ=PN．已知动点运动了x（0＜x≤2）秒，且PN的长为3x2．在这个运动过程中，当动点运动了3637秒时，MP=MA，则△MPA为等腰三角形．请问是否存在其它的x值使△MPA为等腰三角形？如果存在请求出x的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

存在其它x值，使△MPA为等腰三角形．
由题意知：DM=x，AN=2x，
①如图1，若PM=PA，
∵PQ⊥AD，
∴MQ=AQ，
∵AQ=PN，
∴MQ=AQ=PN=

3

2

x，
又∵DM+MQ+QA=AD，
∴x+

3

2

x+

3

2

x=3，
即x=

3

4

；
②如图2，若AP=AM，
在Rt△PAN中，由勾股定理得：AP=

AN2+PN2

=

(2x)2+( 3 2 x)2

=

5

2

x，
∵AM=3-x．
∴

5

2

x=3-x，
解得x=

6

7

；
③如图3，若AM=PM时，过点M作MH⊥AP于H，
则AH=PH=

1

2

AP=

1

2

×

5

2

x=

5

4

x，
在Rt△ACD中，AC=

32+42

=5，
cos∠CAD=

AH

AM

=

AD

AC

，
即

5 4 x

3?x

=

3

5

，
解得x=

36

37

．
综上所述，存在其它的x值，x=

3

4

或x=

6

7

，使△MPA为等腰三角形．