Question

已知f（x）=xlnx．（1）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；（2）设实数a＞0，求函数F（x）=f(x)a在

已知f（x）=xlnx．（1）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；（2）设实数a＞0，求函数F（x）=f(x)a在[a，2a]上的最大值．

Answer 1

（1）∵f（x）=xlnx，
∴f（e）=e，f′（x）=lnx+1，f′（e）=2
∴函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程为：
y-e=2（x-e），整理，得y=2x-e．
（2）F′(x)＝

1

a

(lnx+1)，
令F′（x）=0，得x=

1

e

，
当x∈（0，

1

e

），F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x∈（

1

e

，+∞），F′（x）＞0，F（x）单调递增．
∴F（x）在[a，2a]上的最大值F_max（x）=max{F（a），F（2a）}
∵F（a）-F（2a）=lna-2ln2a=ln

1

4a

，
∴当0＜a≤

1

4

时，F（a）-F（2a）≥0，F_max（x）=F（a）=lna，
当a＞

1

4

时，F（a）-F（2a）＜0，F_max（x）=F（2a）=2ln2a．