（2014?江西）如图，已知双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB
（2014?江西）如图，已知双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双...
（2014?江西）如图，已知双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：x0xa2-y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=32相交于点N．证明：当点P在C上移动时，丨MF丨丨NF丨恒为定值，并求此定值．
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（1）解：依题意知，A（c，
），设B（t，-
），
∵AB⊥OB，BF∥OA，∴
?
=-1，
=
，
整理得：t=
，a=
，
∴双曲线C的方程为
-y2=1；
（2）证明：由（1）知A（2，
），l的方程为：
-y0y=1，
又F（2，0），直线l：
-y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=
相交于点N．
于是可得M（2，
），N（
，
），
∴
=
| c |
| a |
| t |
| a |
∵AB⊥OB，BF∥OA，∴
| ||
| c?t |
| ?1 |
| a |
| 1 |
| a |
| t |
| a(c?t) |
整理得：t=
| c |
| 2 |
| 3 |
∴双曲线C的方程为
| x2 |
| 3 |
（2）证明：由（1）知A（2，
2
| ||
| 3 |
| x0x |
| 3 |
又F（2，0），直线l：
| x0x |
| a2 |
| 3 |
| 2 |
于是可得M（2，
| 2x0?3 |
| 3y0 |
| 3 |
| 2 |
| x0?2 |
| 2y0 |
∴
| 丨MF丨 |
| 丨NF丨 |
|
|
