Question

已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．（Ⅰ）

已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？

Answer 1

解答：（Ⅰ）法1：答：当四边形PEMF为矩形时，
矩形ABCD的长是宽的2倍．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
又∵AM=DM，
∴△AMB≌△DMC（SAS）
∴∠AMB=∠DMC
∵四边形PEMF为矩形，
∴∠BMC=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°
∴AM=DM=DC，即AD=2DC．
∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；
法2：∵四边形PEMF为矩形，
∴∠M为直角，
∴B、C、M三点共圆，BC为直径，
又∵M为AD的中点，
∴BC=2CD，
∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．

（Ⅱ）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形．
∵△AMB≌△DMC，
∴MB=MC．
∵四边形PEMF为矩形，
∴PE∥MB，PF∥MC
又∵点P是BC中点，
∴PE=PF=

1

2

MC
∴四边形PEMF为正方形．