Question

已知函数f（x）=2lnx-x2+ax，a∈R（1）当a=2时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程；（2）若函数f（

已知函数f（x）=2lnx-x2+ax，a∈R（1）当a=2时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程；（2）若函数f（x）-ax+m=0在[1e，e}上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）的图象与x轴交于不同的点A（x1，0），B（x2，0）且0＜x1＜x2，求证：f′（px1+qx2）＜0（其中实数p，q满足0＜p≤q，p+q=1）

Answer 1

（1）当a=2时，f（x）=2lnx-x²+2x，
f′(x)＝

2

x

?2x+2，
切点坐标为（1，1），
切线的斜率k=f′（1）=2，
∴切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．
（2）方程f（x）-ax+m=0即为2lnx-x²+m=0，
令g（x）=2lnx-x²+m，
则g′（x）=

2

x

?2x=

?2(x+1)(x?1)

x

，
∵x∈[

1

e

，e]，∴g′（x）=0时，x=1．
当

1

e

＜x＜1时，g′（x）＞0；
当1＜x＜e时，g′（x）＜0，
故函数g（x）在x=1取得极大值g（1）=m-1，
又g（

1

e

）=m-2-

1

e2

，g（e）=m+2-e²，
g（e）-g（

1

e

）=4-e²+

1

e2

＜0，
则g（e）＜g（

1

e

），
故函数g（x）在[

1

e

，e]上的最小值是g（e）．
方程f（x）-ax+m=0在[

1

e

，e]上有两个不相等的实数根，
则有

g(1)＝m?1＞0 g( 1 e )＝m?2? 1 e2

，
解得1＜m≤2+

1

e2

，
故实数m的取值范围是（1，2+

1

e2

]．
（3）∵函数f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x₁，0），B（x₂，0），
2lnx-x²+ax=0的两个根为x₁，x₂，
则

2lnx1?x12+ax1＝0 2lnx2?x22+ax2＝0

，
两式相减，得a=（x₁+x₂）-

2(lnx1?lnx2)

x1?x2

，
f（x）=2lnx-x²+ax，
f′(x)＝

2

x

?2x+a，
则f′(px1+qx2)＝

2

px1+qx2

-2（px₁+qx₂）+（x₁+x₂）-

2(lnx1?lnx2)

x1?x2

=

2

px1+qx2

-2（px₁+qx₂）+（x₁+x₂）-

2(lnx1?lnx2)

x1?x2

=

2

px1+qx2

?

2(lnx1?lnx2)

x1?x2

?(2p?1)x1-（2q-1）x2 ，（∵p+q=1）
=

2

px1+qx2

?

2(lnx1?lnx2)

x1?x2

+（2p-1）（x₂-x₁），（*）
∵0＜p≤q，p+q=1，则2p≤1，
∵0＜x₁＜x₂，∴（2p-1）（x₂-x₁）≤0．
下面证明

2

px1+qx2

?

2(lnx1?lnx2)

x1?x2

＜0，
即证明

x2?x1

px1+qx2

+ln

x1

x2

＜0，
令t=

x1

x2

，∵0＜x₁＜x 2 ，∴0＜t＜1，
即证明u（t）=

1?t

pt?q

+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立．
∵u′（t）=

1

t

?

1

(pt+q)2

=

p2t2?t(p2+q2)+q2

t(pt+q)2

=

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