Question

求教两道线性代数求逆的题目，再问是否存在这类题目的通法。

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Answer 1

有两类比较通用的方法

第一类方法是带余除法，比较适合于求一次多项式的逆
比如第一题，把x^2-3x+1这个多项式除以x，得到
0=A^2-3A+I=A(A-3I)+I，所以A^{-1}=-(A-3I)
第二题也一样，
0=A^3-2A=(A-I)(A^2+A-I)-I，得到(A-I)^{-1}=A^2+A-I
如果是高次多项式求逆的话至少可以反复用这种方法降次

第二类方法是待定系数法，如果A满足一个k次多项式，那么A的任何函数都可以表示成不超过k-1次的多项式
第一题可设A^{-2}=uI+vA，然后用A^2(uI+vA)-I=0，左端是A^2-3A+I的倍数，用带余除法解出待定系数
第二题可设(A-I)^{-1}=uI+vA+wA^2，类似地算