Question

在等边△ABC中，点E在线段AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．（1）当点E为线段AB的中点时，试求

在等边△ABC中，点E在线段AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．（1）当点E为线段AB的中点时，试求 AE 4DB 的值；（2）当点E不是线段AB的中点时， AE 4DB 的值是否发生变化？为什么？

Answer 1

（1）过点E作EF⊥BC于F，设等边三角形的边长为2a， ∵点E为线段AB的中点， ∴AE=BE= 1 2 ×2a=a，∠BCE=30°， ∵ED=EC， ∴∠D=∠BCE=30°， ∴∠BED=∠ABC-∠D=60°-30°=30°， ∴BD=BE=a， AE 4DB = a 4a = 1 2 ； （2）不变．理由如下： 过点E作EF⊥BC于F，设BD=x，等边三角形的边长为2a， ∵ED=EC， ∴CF= 1 2 CD= 1 2 （2a+x）， ∴BF=BC-CF=2a- 1 2 （2a+x）=a- 1 2 x， 在Rt△BEF中，BE=2BF=2a-x， ∴AE=AB-BE=2a-（2a-x）=x， ∴ AE 4DB = x 4x = 1 2 ．