Question

已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=ex．（I）当a≤0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式g(x)＜x?mx有解

已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=ex．（I）当a≤0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式g(x)＜x?mx有解，求实数m的取值菹围；（Ⅲ）定义：对于函数y=F（x）和y=G（x）在其公共定义域内的任意实数x0，称|F（x0）-G（x0）|的值为两函数在x0处的差值．证明：当a=0时，函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有差值都大干2．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=（ax+lnx）′=a+

1

x

①当a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）为单调递增函数；
②当a＜0时，f′（x）=0，得x=-

1

a

，当x∈（0，-

1

a

）时，f′（x）＞0；当x∈（-

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，-

1

a

）为单调递增函数；在（-

1

a

，+∞）为单调递减函数；
（II）由题意，不等式g(x)＜

x?m

x

有解，即e^x

x

＜x-m有解，
因此只须m＜x-e^x

x

，x∈（0，+∞），
设h（x）=x-e^x

x

，x∈（0，+∞），h′（x）=1-e^x（

x

+

1

2 x

），
因为