Question

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（-4，0）两点，交y轴与C点．（1）求该抛物线的解析式；（2

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（-4，0）两点，交y轴与C点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线位于第二象限的部分上是否存在点D，使得△DBC的面积S最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线的顶点为点F，连接线段CF，连接直线BC，请问能否在直线BC上找到一个点M，在抛物线上找到一个点N，使得C、F、M、N四点组成的四边形为平行四边形？若存在，请写出点M和点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将A（1，0），B（-4，0）代入y=-x²+bx+c中得

?1+b+c＝0 ?16?4b+c＝0

，
解得

b＝?3 c＝4

．
所以抛物线解析式为：y=-x²-3x+4；

（2）在该抛物线位于第二象限的部分上是否存在点D，使得△DBC的面积S最大．理由如下：
设D点坐标为（x，-x²-3x+4）（-4＜x＜0）．如图，过D点作DE⊥x轴于点E．
∵S_△DBC=S_{四边形BDCO}-S_△BOC=S_{四边形BDCO}-

1

2

×4×4=S_{四边形BDCO}-8，
若S_{四边形BDCO}有最大值，则S_△DBC就最大，
∴S_{四边形BDCO}=S_△BDE+S_{直角梯形DEOC}
=

1

2

BE?DE+

1

2

OE（DE+OC）
=

1

2

（x+4）（-x²-3x+4）+

1

2

（-x）（-x²-3x+4+4）
=-2x²-8x+8
=-2（x+2）²+16，
当x=-2时，S_{四边形BDCO}最大值=16．
∴S_△BDC最大值=16-8=8．
当x=-2时，-x²-3x+4=-（-2）²-3×（-2）+4=6，
∴点D坐标为（-2，6）；

（3）能够在直线BC上找到一个点M，在抛物线上找到一个点N，使得C、F、M、N四点组成的四边形为平行四边形．理由如下：
∵y=-x²-3x+4=-（x+

3

2

）²+

25

4

，
∴顶点F的坐标为（-

3

2

，

25

4

）．
∵B（-4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=x+4．
分两种情况：①CF是边．
如图，过点F作FN∥BC，交抛物线于点N，设直线FN的解析式为y=x+m，
把F（-

3

2

，